Nummerierungssystem

Mathematik

2022

Wir erklären, was ein Nummernsystem ist, und wir untersuchen die Eigenschaften jedes Systemtyps anhand von Beispielen aus verschiedenen Kulturen.

Jedes Zahlensystem enthält eine bestimmte und endliche Menge von Symbolen.

Was ist ein Zahlensystem?

Ein Zahlensystem ist eine Reihe von Symbolen und Regeln, durch die die Anzahl der Objekte in einer Zahl ausgedrückt werden kann. einstellen, das heißt, durch die alle gültigen Zahlen dargestellt werden können. Das bedeutet, dass jedes Zahlensystem einen gegebenen und endlichen Satz von Symbolen sowie einen gegebenen und endlichen Satz von Regeln enthält, nach denen sie kombiniert werden.

Zahlensysteme waren eine der wichtigsten menschlichen Erfindungen in der Antike, und jede der alten Zivilisationen hatte ihr eigenes System, das mit ihrer Art, die Welt zu sehen, dh mit ihrer Kultur, zusammenhängt.

Im Großen und Ganzen können Nummerierungssysteme in drei verschiedene Typen eingeteilt werden:

  • nicht-positionelle Systeme. Das sind solche, bei denen jedes Symbol einem festen Wert entspricht, unabhängig von der Position, die es innerhalb der Zahl einnimmt (ob es zuerst, seitlich oder danach erscheint).
  • Halbpositionale Systeme. Sie sind diejenigen, bei denen der Wert eines Symbols tendenziell festgelegt ist, aber in bestimmten Erscheinungssituationen modifiziert werden kann (obwohl dies eher Ausnahmen sind). Es wird als Zwischensystem zwischen dem Positionalen und dem Nicht-Positionalen verstanden.
  • Positions- oder gewichtete Systeme.Sie sind diejenigen, bei denen der Wert eines Symbols sowohl durch seinen eigenen Ausdruck als auch durch den Platz bestimmt wird, den es innerhalb der Zahl einnimmt, wobei es je nach Position mehr oder weniger wert sein oder unterschiedliche Werte ausdrücken kann.

Es ist auch möglich, Nummerierungssysteme basierend auf der Nummer zu klassifizieren, die sie als Grundlage für ihre Berechnungen verwenden. So ist beispielsweise das aktuelle westliche Zahlensystem dezimal (da seine Basis 10 ist), während das sumerische Zahlensystem sexagesimal war (seine Basis war 60).

Nicht-Positionszahlensysteme

Nicht-Positionssysteme waren leicht zu erlernen, erforderten jedoch zahlreiche Symbole.

Positionslose Zahlensysteme waren die ersten, die existierten, und hatten die primitivsten Basen: Finger, Knoten an einem Seil oder andere Aufzeichnungsmethoden zur Koordinierung von Zahlensätzen. Wenn Sie beispielsweise an den Fingern einer Hand zählen, können Sie auch an ganzen Händen zählen.

In diesen Systemen haben die Ziffern ihren eigenen Wert, unabhängig von ihrer Position in der Symbolkette, und um neue Symbole zu bilden, müssen die Werte der Symbole addiert werden (aus diesem Grund werden sie auch als additive Systeme bezeichnet). Diese Systeme waren einfach und leicht zu erlernen, erforderten jedoch zahlreiche Symbole, um große Mengen auszudrücken, und waren daher nicht ganz effizient.

Beispiele für diese Arten von Systemen sind:

  • Das ägyptische Zahlensystem. Entstanden um das dritte Jahrtausend v. C., wurde auf den zehn basiert und verwendet Hieroglyphen unterschiedlich für jede Einheitenreihenfolge: eine für die Einheit, eine für die Zehn, eine für die Hundert und so weiter bis zur Million.
  • Das aztekische Zahlensystem. Typisch für das Mexica-Imperium hatte es 20 als Basis und verwendete bestimmte Objekte als Symbole: Eine Flagge entsprach 20 Einheiten, eine Feder oder ein paar Haare 400, eine Tasche oder ein Sack 8.000, unter anderem.
  • Das griechische Zahlensystem.Insbesondere das Ionische wurde ab dem vierten Jahrhundert v. Chr. Im östlichen Mittelmeerraum erfunden und verbreitet. C. und ersetzt das bereits vorhandene akrophonische System. Es war ein alphabetisches System, bei dem Buchstaben Zahlen bedeuteten, wobei der Buchstabe mit seiner Kardinalstelle im Alphabet (A = 1, B = 2) übereinstimmte. So wurde jeder Ziffer von 1 bis 9 ein Buchstabe zugeordnet, jeder Zehner ein weiterer bestimmter Buchstabe, jeder Hunderter ein weiterer, bis 27 Buchstaben verwendet wurden: die 24 des griechischen Alphabets und drei Sonderzeichen.

Semipositionale Zahlensysteme

Semi-Positionssysteme reagierten auf die Bedürfnisse einer weiter entwickelten Wirtschaft.

Semipositionale Zahlensysteme kombinieren die Vorstellung des festen Werts jedes Symbols mit bestimmten Positionierungsregeln, sodass sie als hybrides oder gemischtes System zwischen positionalem und nicht-positionellem System verstanden werden können. Sie genießen die Möglichkeit, große Zahlen darzustellen, die Reihenfolge der Zahlen und formale Verfahren wie die Multiplikation zu verwalten, sodass sie im Vergleich zu nicht-positionellen Systemen einen Fortschritt in der Komplexität darstellen.

Das Aufkommen semi-positionaler Systeme kann weitgehend als Übergang zu einem effizienteren Nummerierungsmodell verstanden werden, das die komplexeren Bedürfnisse einer weiter entwickelten Wirtschaft, wie der der großen Reiche der klassischen Antike, befriedigen könnte.

Beispiele für dieses Nummerierungsmodell sind:

  • Das römische Zahlensystem. Es wurde in der römischen Antike geschaffen und ist bis heute erhalten. In diesem System wurden die Zahlen mit bestimmten Großbuchstaben des lateinischen Alphabets (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50 usw.) aufgebaut, deren Wert festgelegt war und je nach Addition und Subtraktion betrieben wurde wo das Symbol erscheint.Wenn das Symbol links von einem Symbol mit gleichem oder geringerem Wert war (wie in II = 2 oder XI = 11), sollten die Gesamtwerte addiert werden; Wenn sich das Symbol links von einem Symbol mit höherem Wert befand (wie in IX = 9 oder IV = 4), mussten sie subtrahiert werden.
  • Das klassische chinesische Zahlensystem. Seine Ursprünge reichen bis etwa 1500 v. Chr. zurück. C. und ist ein sehr strenges System der vertikalen Darstellung von Zahlen durch ihre eigenen Symbole, das zwei verschiedene Systeme kombiniert: eines für umgangssprachliche und alltägliche Schriften und ein anderes für kommerzielle oder finanzielle Aufzeichnungen. Es war ein Dezimalsystem mit neun verschiedenen Zeichen, die nebeneinander platziert werden konnten, um ihre Werte zu addieren, wobei manchmal ein spezielles Zeichen eingefügt oder die Position der Zeichen geändert wurde, um eine bestimmte Operation anzuzeigen.

Positionsnummernsysteme

Das aktuelle Nummerierungssystem stammt aus dem hindu-arabischen System.

Positionsnummernsysteme sind die komplexesten und effizientesten der drei Arten von Nummernsystemen, die es gibt. Die Kombination aus dem richtigen Wert der Symbole und dem Wert, der ihnen durch ihre Position zugewiesen wird, ermöglicht es ihnen, sehr hohe Zahlen mit sehr wenigen Zeichen zu erstellen, indem sie den Wert jedes einzelnen addieren und/oder multiplizieren, was sie vielseitiger und moderner macht Systeme.

Im Allgemeinen verwenden Positionssysteme einen festen Satz von Symbolen, und durch ihre Kombination werden die restlichen möglichen Figuren endlos produziert, ohne dass neue Zeichen erstellt werden müssen, sondern indem neue Symbolspalten eingeführt werden. Dies impliziert natürlich, dass ein Fehler in der Zeichenfolge auch den Gesamtwert der Zahl ändert.

Die ersten Beispiele für Systeme dieser Art entstanden in den großen Imperien oder den anspruchsvollsten alten Kulturen in kulturellen und kommerziellen Angelegenheiten, wie dem babylonischen Reich des zweiten Jahrtausends v. C. Beispiele für diese Art von Nummerierungssystem sind:

  • Das moderne Dezimalsystem.Mit nur den Ziffern von 0 bis 9 können Sie jede mögliche Zahl bilden, indem Sie Spalten hinzufügen, deren Wert hinzugefügt wird, wenn Sie sich nach rechts bewegen, wobei die Zehn als Basis verwendet wird. Wenn wir also Symbole zu 1 hinzufügen, können wir 10, 195, 1958 oder 19589 bilden. Es ist wichtig klarzustellen, dass die verwendeten Symbole von hindu-arabischen Ziffern stammen.
  • Das hindu-arabische Zahlensystem. Erfunden von den alten Weisen Indiens und später von den muslimischen Arabern geerbt, erreichte es den Westen durch Al-Andalus und ersetzte schließlich die römische Zahlen traditionell. In diesem System, ähnlich dem modernen Dezimalsystem, werden Einheiten von 0 bis 9 durch bestimmte Glyphen dargestellt, die den Wert jeder Einheit durch Linien und Winkel darstellen. Das Betriebssystem dieses Systems ist im Grunde dasselbe wie das moderne westliche Dezimalsystem.
  • Das Maya-Zahlensystem. Es wurde geschaffen, um die Zeit zu messen, anstatt mathematische Transaktionen durchzuführen, und seine Basis war vigesimal und seine Symbole entsprechen dem Kalender dieser präkolumbianischen Zivilisation. Die zu 20 mal 20 gruppierten Figuren sind mit Grundzeichen (Streifen, Punkte und Schnecken oder Muscheln) dargestellt; und um zur nächsten Punktzahl zu gelangen, wird ein Punkt auf der nächsten Ebene des Schreibens hinzugefügt. zusätzlich Mayas Sie gehörten zu den ersten, die die Zahl Null verwendeten.
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