Wir erklären, was Geometrie ist, ihre Geschichte und ihr Studiengegenstand. Darüber hinaus die Eigenschaften jeder Art von Geometrie.
Was ist Geometrie?
Geometrie (aus dem Griechischen geo, "Land", und Meter, „Messung“) ist einer der ältesten Zweige der Mathematik, widmet sich der Erforschung der Form einzelner Objekte, der räumlichen Beziehung zwischen ihnen und den Eigenschaften des sie umgebenden Raums.
Obwohl diese Disziplin in ihren Anfängen gehorchte, wie der Name schon sagt, Messung im praktischsten Sinne, im Laufe der Zeit die Menschheit er verstand, dass selbst die komplexesten Abstraktionen und Darstellungen in geometrischen Begriffen ausgedrückt werden können.
So entstanden ihre zahlreichen Zweige aus der Hand der mathematischen Analysis und anderer Berechnungsformen, insbesondere solchen, die geometrische Darstellungen mit numerischen und algebraischen mathematischen Ausdrücken verbinden.
Die Geometrie ist ein grundlegender Zweig der Mathematik, auf dem zahlreiche Disziplinen basieren (z technische Zeichnung oder besitzen die Architektur) und dient als Ergänzung zu vielen anderen (wie körperlich, die Mechanik, die Astronomie, etc.). Darüber hinaus sind zahlreiche Artefakte entstanden, vom Kompass über den Stromabnehmer bis hin zum Global Positioning System (GPS).
Geschichte der Geometrie
Die Geometrie hat ihren Ursprung praktisch in den ersten menschlichen Zivilisationen. Die alten Babylonier waren die Erfinder des Rades und damit der Geometrie der Kreise. Aus diesem Grund waren sie wahrscheinlich die ersten, die das unendliche Potenzial der geometrischen Studien erkannten, das sie bald auf die Astronomie anwandten.
Die alten Ägypter taten dasselbe, die es genug kultivierten, um es in ihren majestätischen architektonischen Werken anzuwenden, da Geometrie und Arithmetik zu dieser Zeit Wissenschaften ausgesprochen praktisch.
Viele griechische Historiker wie Herodot (ca. 484-ca. 425 v. Chr.), Diodorus (ca. 90 v. Chr. - ca. 30 v. Chr.) und Strabo (ca. 63 v. Chr. - ca. 24 n. Chr.) erkannten die Bedeutung des ägyptischen geometrischen Erbes , und galten als die Schöpfer der Disziplin. Es waren jedoch die alten Griechen, die der Geometrie dank ihres fortschrittlichen philosophischen Modells ihren formalen Aspekt verliehen.
Von besonderer Bedeutung war der als "Vater der Geometrie" anerkannte Mathematiker und Geometriker Euklides (ca. 325 - ca. 265 v. Chr.), der durch sein berühmtes Werk das erste geometrische System zur Überprüfung von Ergebnissen vorschlug Die Elemente, komponiert um das Jahr 300 n. C. in Alexandria. Dort werden zum ersten Mal die Unterschiede zwischen den Ebenen ausgesprochen (zweidimensional) und das Platz (dreidimensional).
Andere wichtige Beiträge zur Geometrie der Zeit waren die von Archimedes (ca. 287 - ca. 212 v. Chr.) und Apollonius von Perge (ca. 262 - ca. 190 v. Chr.). In den folgenden Jahrhunderten verlagerte sich die Entwicklung der Mathematik jedoch in den Osten (insbesondere Indien und die muslimische Welt), wo die Geometrie zusammen mit entwickelt wurde Algebra und das Trigonometrie, verlinke sie mit dem Astrologie und Astronomie.
So kehrte das Interesse an der Disziplin erst in den USA in den Westen zurück Renaissance europäisch, in dem viele neue Namen zu seiner Studie hinzugefügt wurden, wodurch die projektive Geometrie und insbesondere die kartesische Geometrie entstand oder analytische Geometrie, Frucht des Werkes des französischen Philosophen René Descartes (1596-1650), der Träger einer neuen geometrischen Forschungsmethode, die dieses Wissensgebiet revolutionierte und modernisierte.
Von da an fand die moderne Geometrie statt, von großen Gelehrten wie dem Deutschen Carl Friedrich Gauss (1777-1855), dem Russen Nikolái Lobachevski (1792-1856), dem Ungarn János Bolyai (1802-1860) unter vielen andere, denen es gelang, von den klassischen Axiomen Euklids abzuweichen und ein neues Fachgebiet zu finden: die nichteuklidische Geometrie.
Gegenstand des Studiums der Geometrie
Geometrie funktioniert sowohl im Zweidimensionalen als auch im Dreidimensionalen.Die Geometrie beschäftigt sich mit den Eigenschaften des Raumes und insbesondere mit Formen und Zahlen die ihn bewohnen, entweder zweidimensional (Ebene) oder dreidimensional (Raum), wie Punkte, Linien, Ebenen, Vielecke, Polyeder, und so weiter. Diese Art von Objekten werden als Idealisierungen verstanden, also als mentale Projektionen des Raumes, um ihre Schlussfolgerungen auf die Welt des Konkreten zu übertragen (oder nicht).
Geometrietypen
Die Geometrie hat viele verschiedene Zweige, und ihre Klassifikation entspricht im Allgemeinen der Beziehung, die sie mit den fünf grundlegenden Postulaten von Euklid herstellt, von denen nur vier seit der Antike weithin nachgewiesen wurden. Die fünfte hingegen musste modifiziert werden, um unterschiedliche Geometriefamilien entstehen zu lassen.
Wir müssen also unterscheiden zwischen:
Absolute Geometrie, die von den ersten vier Postulaten von Euklid bestimmt wird.
Die euklidische Geometrie, die auch das fünfte euklidische Postulat als Axiom akzeptiert, was wiederum zwei Varianten hervorbringt: die Geometrie der Ebene (zweidimensional) und die Geometrie des Raumes (dreidimensional), gemäß der altgriechischen Klassifikation .
Klassische Geometrie, in der die Ergebnisse euklidischer Geometrien zusammengestellt sind.
Die im 19. Jahrhundert entstandene nichteuklidische Geometrie vereint die verschiedenen geometrischen Systeme, die weit vom fünften Postulat von Euklid entfernt sind, akzeptiert jedoch die ersten vier oder einige davon. Darunter sind:
- Elliptische oder Riemannsche Geometrie, die den ersten vier Postulaten von Euklid gehorcht und ein Modell konstanter und positiver Krümmung darstellt.
- Hyperbolische oder Lobatschewski-Geometrie, die nur den ersten vier Postulaten von Euklid gehorcht und ein Modell konstanter und negativer Krümmung darstellt.
- Sphärische Geometrie, verstanden als die Geometrie der zweidimensionalen Oberfläche einer Kugel (anstelle einer geraden Ebene), ist ein einfacheres Modell der elliptischen Geometrie.
- Endliche Geometrie, deren System einer begrenzten Anzahl von Punkten gehorcht (im Gegensatz zur unendlichen Geometrie von Euklid) und deren Modelle nur in einer endlichen Ebene gelten. Es gibt zwei Arten endlicher Geometrien: affine und projektive.